Una transformación Geométrica es una aplicación de un espacio en otro, es un método para pasar de unos puntos a otros.
Una proyección central es aquella transformación del espacio en un plano (llamado plano de cuadro o plano de proyección) desde un punto (llamado centro de proyección o punto de vista en perspectiva).
El punto desde el que se hace la proyección se le llama centro de proyección y el plano sobre el que se proyectan los elementos se denomina plano de cuadro.
Una proyección central es también una homología espacial en la que existe un plano de cuadro (uno de los planos de la homología) coincidente con el plano del dibujo. La proyección central es una transformación que conserva la razón doble.
Si tenemos un plano y un punto exterior en el espacio distinto del centro de proyección, la proyección central lo transforma en un punto del plano de proyección.
Para calcular la proyección central de un punto lo unimos con el centro de proyección, la intersección de la recta que definen ambos puntos con el plano de proyección es el punto buscado.
Si el punto que queremos representar está sobre el plano de proyección, la proyección de éste coincide con si mismo y es por tanto un punto doble. Un punto es doble por tanto cuando el punto se transforma en sí mismo. Si una figura tiene sus puntos dobles decimos que es invariante.Son también rectas dobles las que pasan por el centro de proyección (rayos visuales en perspectiva), pero no sus puntos.
Si construimos una recta perpendicular al plano desde el centro de proyección tenemos en la intersección con el plano del cuadro el punto principal, todos los puntos de esta recta se proyectan sobre el mismo punto del plano de proyección.
Si construimos una recta perpendicular al plano desde el centro de proyección tenemos en la intersección con el plano del cuadro el punto principal, todos los puntos de esta recta se proyectan sobre el mismo punto del plano de proyección.
Si tomamos una recta y la proyectamos sobre el plano de proyección desde el centro de proyección, obtenemos su proyección central o perspectiva, intersección del plano que definen ambos elementos (el centro de proyección y la recta) con el plano del cuadro.
Las rectas cortan al plano de proyección en un punto al que denominamos traza.
Si hacemos una recta paralela a la recta que queremos representar por el centro de proyección obtenemos en la intersección con el plano de proyección el punto límite de esta recta u homólogo del punto del infinito de la recta.
Toda recta queda perfectamente definida con 2 puntos: su traza y su punto límite o también denominado punto de fuga o de desvanecimiento.
La representación del plano queda definida por dos rectas, una es la traza o intersección con el plano de proyección y la otra es la recta límite obtenida al hacer por el centro de proyección un plano paralelo al dado y calcular su intersección con el plano de proyección.
Si restringimos la proyección central a una esfera que se apoya sobre un plano de proyección tomando el centro de proyección como polo opuesto al punto de tangencia donde se apoya la esfera tenemos una proyección central llamada estereográfica. La proyección central con un plano de cuadro curvo es una perspectiva curvilínea. La proyección estereográfica es análoga a la inversión en el espacio de una esfera en un plano, curiosamente es una proyección también central aunque conserva los ángulos, por lo que se llama transformación conforme.
La posición del centro de proyección respecto al plano de proyección queda definido al igual que en la proyección gnomónica por la distancia al plano del cuadro. Ésta distancia queda definida sobre el plano del cuadro con un círculo llamado de distancia, cuyo radio es la distancia entre el centro de proyección y el plano del cuadro, esto es, la distancia del punto de vista o centro de proyección al punto principal.
La relación entre la proyección central, la perspectiva cónica y la homología espacial.
La relación entre la proyección central, la perspectiva cónica y la homología espacial.
La proyección central es la perspectiva cónica clásica, con la salvedad de que se libera de todos las restricciones de la misma: no representa sólo lo percibido detrás del plano del cuadro o plano de proyección sino que representa lo que está detrás o delante del mismo, incluso detrás del centro de proyección cuyo punto análogo en la perspectiva es el punto de vista.
Cuando representa un plano por regla general es oblicuo al plano de proyección o plano de cuadro, no sucede como en la perspectiva cónica que el plano del suelo donde se apoya el observador o plano geometral es perpendicular al plano del cuadro.
Si cogemos un dibujo en perspectiva cónica y lo giramos de manera que se ve el dibujo del plano del cuadro junto con la figura que representa, además del punto de vista y los elementos perspectivos alineados con el centro de proyección estaremos representando una perspectiva de la perspectiva, estaremos representando la relación que existe entre la perspectiva o proyección central de una figura y la figura que representa, estaremos haciendo una homología espacial.
En consecuencia tenemos tres ámbitos perfectamente interrelacionados, una perspectiva cónica que representa un elemento del espacio proyectando desde un punto sobre un plano y bajo ciertas restricciones, por ejemplo que el ángulo del cono visual sea de unos 60° para evitar posibles distorsiones laterales o anamorfosis, que el observador esté situado frente al plano del cuadro representando lo que se ve detrás de él, que la altura del observador está definida por la distancia del punto principal -o proyección ortogonal del punto de vista sobre el cuadro- hasta el plano del suelo o plano geometral, que el plano del cuadro y del suelo o geometral formen 90º entre sí.
Una generalización de la perspectiva cónica la tenemos concretada en la proyección central que transforma cualquier elemento del espacio en un elemento del plano de proyección desde un punto exterior al mismo.
Como una mayor generalización de esto tenemos el caso de la homología espacial que representa una perspectiva del objeto, sea cilíndrica o cónica, su proyección sobre el plano del cuadro y el centro de proyección que asocia cada punto de la figura con su perspectiva. En el caso de la homología el plano del cuadro no coincide necesariamente con el plano del papel aunque puede hacerlo. La homología es la perspectiva de la perspectiva, la perspectiva en la que aparece siempre además de la figura, el plano de proyección con su figura transformada sobre él y el punto de vista o centro de proyección.
